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ÿþWydziaÅ‚ Chemiczny - Biotechnologia, sem.I.
dr Anita Tlałka
Liczby zespolone
Zad.1
Wykonaj działania i przedstaw wynik w postaci a + bi:
3 + 2i 1 + 2i 4i
a1) (5 - 2i)2(1 + 7i) ; a2) ; a3) + ;
1 - 3i -3i 1 + i
(2 + 3i)2(1 - i) (1 + 2i)(3 + i)
a4) ; a5) ; a6) (1 + 2i)3(3 - i) ;
5 + 2i (1 - 2i)2
a7) i122 ; a8) (i19 - i7)i17 ; a9) (%2Å‚)29 ;
" " " " "
1
a10) -12 ; a11) -2 ( 2 + -8) ; a12) -36 · - .
16
Zad.2
Wyznacz:
3 - 2i
b1) Re[(2 + i)2 + 3i(7 - 5i)] ; b2) Re[(1 - i)i - 1] ; b3) Im ;
2 + 3i
(1 + i)i - i 5 + i
b4) Im ; b5) |(1 - 2i)2| ; b6) ( ) .
i (2 + i)2(1 - 3i)
Zad.3
Przedstaw w postaci trygonometrycznej:
c1) 5 ; c2) 5i ; c3) -5 ;
c4) -5i ; c5) 5 + 5i ; c6) -5 - 5i ;
" " "
c7) 3 - i ; c8) -1 + 3 i ; c9) 4 + 4 3 i ;
" " "
c10) 3 - i ; c11) 2 + 6 i ; c12) (1 - i)4 ;
1 - i 1 + i 1 - i
c13) ; c14) ; c15) ;
i i 1 + i
"
"
7 - 3i 9 3 - 9i
c16) (1 + 3 i) i ; c17) ; c18) ;
5 + 2i 4i
"
3 1 4 + 4 3 i
"
c19) ; c20) ; c21) .
2 + 2i (1 - i)2
3 - i
Zad.4
Oblicz:
" "
d1) (1 - 3 i)4 ; d2) (5 + 5i)20 ; d3) (-3 + 3 3 i)6 ;
6 10
" "
6
"
d4) (-1 + i)4 ; d5) ; d6) (1 + i 3)(1 - i 3 ;
3 + i
" " "
d7) 3 + 4i ; d8) 2i ; d9) -16 + 30i ;
"
3
d10) -1 oraz zaznacz wyznaczone pierwiastki na okręgu jednostkowym;
"
3
d11) 1 oraz zaznacz wyznaczone pierwiastki na okręgu jednostkowym;
" " "
3
4
4
d12) -i; d13) i ; d14) 3 - i ;
" "
3
"
1 3 1 3
4 4
3
d15) 8 ; d16) - + i ; d17) + i ;
2 2 2 2
"
1 1 - i
4
3
3
d18) ; d19) 2 3 - 2i ; 20) ;
(1 - i)2 1 + i
2i3
3
d21) .
(1 - i)2
Zad.5
Narysuj, o ile istnieje, zbiór punktów spełniający warunek:
e1) |z + i| = 3 , e2) |z + 2| 4 , e3) zz = 9 ,
¯
e4) zz = -9 , e5) zz > 9 , e6) Re(zz) 9 ,
¯ ¯ ¯
e7) Re(z + z - i) = 2 , e8) 1 |z + i|
¯
Zad.6
Rozwiąż równanie:
f1) z2 + 4z + 5 = 0 , f2) z4 + 3z2 - 4 = 0 ,
f3) z3 - 4z2 + 6z - 4 = 0 , f4) 2z2 - 2(1 + i)z + 2 + i = 0 ,
f5) z2 - (4 + 3i)z + 1 + 5i = 0 , f6) z2 + (i - 2)z + (3 - i) = 0 ,
f7) z2 - 3z + 3 + i = 0 , f8) -z4 - 3z2 + 4 = 0 ,
f9) z4 + 11z2 + 18 = 0 .
Zad.7
Wykaż, że:
g1) z1 + z2 = z1 + z2 , g2) |z| = |z| ,
¯ ¯ ¯
g3) zz = |z|2 , g4) z1z2 = z1z2 ,
¯ ¯ ¯
g5) Re(iz) = i2Im(z) , g6) Arg(zz) = 0 ,
¯
z + z z - z
¯ ¯
g7) jeżeli z = x + iy, to x = oraz y = ,
2 2i
¯
¯
g8) |ez| = ex , g9) ez = ez .
Zad.8
Oblicz:
Ài 5Ài
2 4
h1) eÀi , h2) e1+ , h3) e-1+ .
ODPOWIEDZI
Zad.1
"
a7) -1 , a8) 0 , a9) -i , a10) ±2 3 i , a11) 4 ± 2i , a12) ±3 .
2
Zad.3
"
7 7
c14) 2(cos À + i sin À) .
4 4
Zad.4
" " " "
3 2 3 1 3 3
d20) i , - i , - - i , d21) 1 , -1 + i , -1 - i .
2 2 2 2 2 2 2 2
Zad.6
1 1 1 3
f1) -2 - i , -2 + i , f2) -1 , 1 , -2i , 2i , f3) 2 , 1 - i , 1 + i , f4) - i , - i , f5)
2 2 2 2
1 + i , 3 + 2i , f6) 1 - 2i , 1 + i , f7) 2 - i , 1 + i , f8) -1 , 1 , -2i , 2i , f9) -3i , 3i ,
" "
- 2 i , 2 i .
Zad.8
h1) -1 , h2) ei .
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